EMALCA 2011: Lista 1

1. Los números racionales de la forma $\{\frac{p}{2^n}; p,n\in Z\}$ son densos en la recta.
2. Sea $B(x)$ una funcion dada por $B(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ si $x>0$ y $B(x)=0$ si $x\leq 0$. Entonces $B$ es $C^{\infty}$ y $B^{(n)}(0)=0$ para todo $n$. (sus derivadas)
3. Existe una funcion $C^{\infty}$ tal que $C(x)=0$ si $x\leq 0$, $C(x)=1$ si $x\geq 1$ y $C'(x)>0$ si $x\in(0,1)$.
4. Dados dos intervalos $[a,b]\subset [c,d]$. Existe una funcion $C^{\infty}$ tal que $D(x)=1$ si $a\leq x\leq b$, $D(x)=0$ si $x\notin (c,d)$ y $D'(x)\neq 0$ si $x\in (c,a)\cup (b,d)$.
5. Existe un difeomorfismo $f:[a,b]\to [c,d]$ tal que $f'(a)=f'(b)=1$ e $f(a)=c$ y $f(b)=d$.
6. Un homeomorfismo de la recta no tiene puntos periodicos de periodo maior que 2. (Pero $f(x)=-x$ tiene tales puntos)
7. Encuentre los puntos fijos, o de período 2, y diga quales son attractores o repulsores de los mapas: $x-x^2$, $x^3-x$, $\sin x$, $e^{x-1}$, $e^x$.
8. Si $f$ es un difeomorfismo entonces sus puntos hiperbolicos son aislados. (Y si no es un difeomorfimo, hay un ejemplo onde eso no ocurre?)
9. Existe un difeomorfismo com puntos fijos hiperbolicos $p_n$ y um punto fijo no-hiperbolico $p$ tal que $p_n\to p$?
10. Sea $T(x)=2x$ si $0\leq x\leq \frac{1}{2}$ y $T(x)=2-2x$ si $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$. Mostrar que $T$ tiene $2^n$ puntos de periodo $n$, y que sus puntos periodicos son densos en $[0,1]$. Lo mismo para el mapa $B(x)=2x$ si $0\leq x\leq \frac{1}{2}$ y $T(x)=2x-1$ si $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$.
11. Mostrar que la suma del tamanho de los intervalos que restam en la $n$-etapa de la construcion del conjunto de Cantor es $$1-\frac{1}{3}(\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{2}{3})^i).$$