EMALCA 2011: Lista 2

1. Sean $x=(0,0,1,0,0,1,0,0,1,...)$, $y=(0,1,0,1,0,1,...)$ y $z=(1,0,1,0,1,0,...)$. Calcule (o por lo menos estime) las distâncias $d(x,y)$, $d(x,z)$ y $d(y,z)$.
2. Si consideramos el shift en el espacio $\{1,2,3,...,N\}^{\mathbb{N}}$, quanto puntos $x$ hay tales que $\sigma^n(x)=x$. Existe un punto $x$ tal que su órbita es densa?
3. Si $x\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ defina el conjunto estable de $x$: $W^s(x)$, como el conjunto de puntos $y$ tals que $d(\sigma^n(x),\sigma^n(y))\to 0$, quando $n\to \infty$. Diga como son los puntos $y$ en $W^s(x)$.
4. Sea el conjunto $\Omega(f)$ como los puntos $x\in [0,1]$ tal que para todo intervalo abierto $J$ tal que $x\in J$ existe un punto $y\in J$ y um entero $n>0$ tal que $f^n(y)\in J$. Mostrar que $\Omega(f)$ es cerrado. Y si $f$ y $g$ son conjugados por un homeomorfismo $h$ entonces $\Omega(g)=h(\Omega(f))$.
5. Un punto $x$ es recurriente si para todo intervalo abierto $J$ tal que $x\in J$, existe $n>0$ tal que $f^n(x)\in J$. Observe que todo punto recurriente está em $\Omega(f)$. Encontrar um ejemplo en que hay um punto de $\Omega(f)$ que no es recurriente.
6. Mostrar que el mapa $T(x)=2x$ si $x\in [0,\frac{1}{2}]$ y $T(x)=2x-1$ si $x\in [\frac{1}{2},1]$ tambien es conjugado al shift $\sigma:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to \{0,1\}^{\mathbb{N}}.$