Como prometido, vou mostrar a seguinte proposição que fiquei devendo na última aula.
Proposição 1. Sejam $(M,g)$ e $(N,h)$ variedades Riemannianas conexas de mesma dimensão, $M$ completa. Seja $\pi:(M,g)\to (N,h)$ uma isometria local. Então $\pi$ é um recobrimento.
Prova. Note que como $\pi$ é isometria local então a imagem de uma $g$-geodésica é uma $h$-geodésica.
Lembre que para mostrar que uma variedade é completa, basta achar um polo. Assim, seja $p\in M$ qualquer e considere $q=\pi(p)$. Dado $v\in T_qN$, seja $w=(D\pi(p))^{-1}.v$. Então como $M$ é completa, a geodésica $\gamma_w$ é definida em toda a reta. Assim, pela observação anterior temos que $\pi(\gamma_w)=\gamma_v$ também é definida em toda a reta, ou seja $q$ é um polo. Assim $N$ é completa.
Seja $r\in N$ qualquer, então como $N$ é completa, temos uma geodésica minimizante $\alpha:[0,l]\to N$ que liga $q$ a $r$. Seja $v=(D\pi(p))^{-1}.\alpha'(0)$. Então a geodésica $\gamma_v$ em $M$ é projetada sobre $\alpha$ o que implica que $\pi(\gamma(l))=r$. Assim, $\pi$ é sobrejetiva.
Seja então $q\in N$ qualquer e tome $r\in(0,inj_N(q))$. Seja $p\in \pi^{-1}(q)$, como $\pi$ é isometria local, temos que $\pi:B(p,r)\to B(q,r)$ (o raio é mesmo devido ao fato de ser isometria) é representada por: $$\pi=\exp_q\circ D\pi(p)\circ exp_p^{-1}.$$
De fato, basta lembrar que $exp$ leva retas radiais em geodésicas.
Assim $\pi|_{B(p,r)}$ é bijeção suave, e como $\pi^*h=g$, temos que de fato é um difeomorfismo de $B(p,r)$ sobre $B(q,r)$. Em particular, se $\pi^{-1}(q)=\{p_{\lambda}\}$ então $$\bigcup_{\lambda}B(r,p_{\lambda})\subset \pi^{-1}(B(q,r)).$$
Agora seja $s\in \pi^{-1}(B(q,r))$. Assim $t=\pi(s)=exp_q(v)$, para algum $v$ com norma menor que $r$. Seja $$\alpha(t)=exp_q(1-t)v$$
geodésica que liga $t$ a $q$. Pelo mesmo argumento anterior, a geodésica radial $\gamma$ que parte de $s$ com direção $(D\pi(s))^{-1}(\alpha'(0)$ é projetada sobre $\alpha$ e portanto $\gamma(1)=p_{\lambda}$ para algum $\lambda$. Como o comprimento de $\gamma$ é menor que $r$ temos que $s\in B(p_{\lambda},r)$. Assim, $$\bigcup_{\lambda}B(r,p_{\lambda})= \pi^{-1}(B(q,r)).$$
Finalmente, se $x\in B(p_{\lambda_1},r)\cap B(p_{\lambda_2},r)$ então temos duas geodésicas $\gamma_1$ e $\gamma_2$ que ligam $x$ a $p_{\lambda_i}$, e estão contidas em $B(p_{\lambda_i},r)$ para $i=1,2$.
Mas então $\pi\circ\gamma_1$ e $\pi\circ\gamma_2$ são geodésicas em $B(q,r)$ que ligam $\pi(x)$ a $q$. Ambas com comprimento menor que $r$. Como $r$ é menor que $inj_N(q)$, temos que estas geodésicas são minimizantes e portanto tem que ser iguais. Assim, $\lambda_1=\lambda_2$. E isto termina a prova.
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