O centralizador $C(f)$ de um difeo $f$ é formado pelos difeos $g$ que comutam com $f$, isto é $f\circ g=g\circ f$.
Por exemplo, se $f$ é o tempo-1 de um fluxo então pelo menos o fluxo inteiro está contido no centralizador. Note que $C(f)$ é um grupo, com a composição. Note também que qualquer potência de $f$ vive no centralizador, se ele for composto apenas por estes então o centralizador é dito trivial. Observe também quem a trivialidade do centralizador implica que o difeo não pode ser mergulhado num fluxo!
A pergunta natural é descrever os centralizador para a maioria dos difeomorfismos, ou em classes de tais.
Teorema A. Seja $X$ um campo Anosov incompressível. Para qualquer $X_t$ existe uma $C^{\infty}$-vizinhança $U=viz(X_t)$ onde $C^{\infty}$-genericamente em $U$, o centralizador é trivial.
Legal não é? Note que obviamente $U$ não contêm nenhum elemento do fluxo, porém da pra desenrolar isso.
Proposição 1. Um campo $X$ $C^r$-generico sobre os campos Anosov incompressíveis, possui um residual $T\subset \mathbb{R}$ tal que para todo $t\in T$ o centralizador de $X_t$ é formado apenas pelo fluxo gerado por $X$.
De fato, o teorema técnico que mostrar estes resultados é o seguinte.
Teorema B. Seja $W$ um $C^{\infty}$-aberto formado por difeos parcialmente hiperbólicos, tais que
- A direção central é unidimensional éintegrável (não de maneira única em princípio!)
- Existe $p$ tal que a folha central é fechada e invariante, mais ainda $F^{cu}(p)$ e $F^{cs}(p)$ são densas. Também, $F^{cs}(p)=\bigcup_{q\in F^c(p)}F^s(q)$
Os outros resultados seguem encaixando-os nas hipóteses deste teorema. Mais ainda, pode se provar o seguinte resultado:
Teorema C. Existe um $C^1$-aberto $C^r$-denso de difeos parcialmente hiperbólicos onde o centralizador é discreto.
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Propriedades genéricas em $W$.
Note que $F^{cs}(p)\cap F^{cu}(p)$ é densa em $F^{cs}(p)$ (de fato isto vale para qualquer difeo em $W$). Pois fixado $q\in F^{cs}(p)$, por densidade a folha $F^{cu}(p)$ passa em uma vizinhança pequena de $q$, e por transversalidade do splitting, ela tem que cortar $F^{cs}(p)$.
Note também que por compacidade da folha central, $F^{c}(p)$ tem pontos periódicos e por Kupka-Smale, todos são hiperbólicos, sejam $p_1,\dots p_{2N}$ tais pontos. Como é Morse-Smale na central, vamos supor que $p_i$ com $i$ ímpar são fontes ($P_u$) e par são poços ($P_s$) (na central). Temos imediatamente que
$$F^{cs}(p)=\bigcup W^s{p_i}$$
e que $\bigcup_{p_i\in P_s} W^s{p_i}$ é aberto e denso em $F^{cs}(p)$.
Se $n$ é o menor período dos $p_i$'s, temos que os autovalores de $Df^n(p_i)$ são não ressonantes, logo poderemos linearizar suavemente via o teorema de Sternberg.
Lema 1: $C^1$-abertamente e $C^{\infty}$-denso todo difeo $g\in C(f)$ preserva os $p_i$'s, isto é $g(p_j)=f^k(p_j)$.
Note também que, como vimos antes, por transversalidade $F^{cs}(p)\cap F^u(p)\neq \emptyset$. Mas, como $\bigcup_{p_i\in P_s}W^{s}(p_i)$ é aberta e densa em $F^{cs}(p)$, perturbando um pouco temos que para algum $p_i$ vale
$$W^s(p_i)\cap F^u(p)\neq \emptyset.$$
E isto é genérico.
A propriedade genérica difícil de obter é a seguinte:
Lema 2: Seja $p_i$ tal que $W^s(p_i)\cap F^u(p)\neq \emptyset$ então se $g\in C(f)$ existe $m$ tal que $g|_{W^s(p_i)}=f^m$.
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Prova do teorema B:
Tome $f$ com as propriedades acima, e $g\in C(f)$. Vimos que $F^{cs}(p)$ se decompõe nos conjuntos estáveis dos $p_i$'s e que $g(p_j)=f^k(p_j)=p_l$ para algum $l$, assim
$$g(W^s(p_j))=W^s(f^k(p_j))=W^s(p_l)$$
Então $g$ preserva $F^{cs}(p)$ e da mesma forma preserva $F^{cu}(p)$. Logo a interseção é invariante por $g$ que é uma folha central.
Cor: Se $q\in F^{cs}(p)$ então $g(F^c(q))=F^c(g(q))$.
Seja $h=gf^{-m}$, pelo lema 2 temos que $h|_{W^s(p_i)}=id$, como $n$ é o período mínimo dos $p_i$'s, temos que $f^n(p_i)=p_i$ e $h(p_i)=p_i$ (pois $g(p_i)=f^m(p_i)$).
Podemos orientar o círculo $F^c(p)$, assim supondo que o tal $p_i$ (da af. da interseção) é $p_2$, temos que $h_{[p_1,p_3]}=id$ (pois a bacia do $p_2$ vai até o $p_1$ o $p_3$).
Af. $h_{[p_3,p_4]}=id$.
Prova. Pela condição de não-ressonância, podemos linearizar suavemente perto de $p_3$. Digamos, existe $\alpha$ a conjugação e $A$ linear tal que
$$\alpha f^n \alpha^{-1}=A$$
A conjugação é local, mas saturando o domínio fundamental, estendemos $\alpha$ para todo $W^u(p_3)$. Ou seja, $\alpha=f^{nM}\alpha f^{-nM}$ com $M$ varrendo os naturais.
Temos também, por dominação, que a folha central $F^c(p)$ é $C^1$ e portanto $$\gamma=\alpha((p_2,p_4))=\gamma_1*\gamma_2=\alpha((p_2,p_3])*\alpha([p_3,p_4))$$ também é $C^1$.
Seja $B=\alpha h \alpha^{-1}$. Por definição de $h$ e como $\alpha$ é conjugação temos que $h$ comuta com $A$. No caso linear temos uma rigidez:
Teorema. (Nancy Koppel) $B$ é linear.
O teorema acima usa a condição de não-ressonância.
Como sabíamos que $B|_{\gamma_1}=id$, por linearidade temos que ter $B_{\gamma_2}=id$.
Vamos supor que o eixo-x corresponde a direção central. Como $A$ e $B$ comutam, suas matrizes tem a mesma estrutura de blocos. Mais ainda, a curva $\gamma$ é um gráfico sobre o eixo-x, tangenciando $0$. Denote $\pi$ a projeção, como $B$ é linear temos que $B|_{\pi(\gamma_1)}=id$ também. Novamente por linearidade $B=id$ no eixo-x.
Logo o autovalor associado a 1a. coordenada de $B$ é $1$. Agora $\gamma$ é um gráfico invariante por $B$ assim $B=id$ em $\gamma_2$. Logo $h=id$ em $[p_3,p_4]$. E isto prova a afirmação.
Por indução, temos que $h=id$ na folha central inteira $F^c(p)$.
Af. $h=id$ em $F^{cs}(p)$.
Com a afirmação o teorema fica provado pois como a folha é densa temos que $h=id$ em $M$.
Prova da Afirmação. Como $h=id$ tanto em $W^s(p_2)$ como em $F^c(p)$ temos que para todo $y$ na folha central de $p$, $h(F^s(y))=F^s(y)$ (pois $W^s(p_2)$ é "grande" na folha centro estável). Da mesma forma para todo $x\in W^s(p_2)$ temos que $h(F^c(x))=F^c(x)$.
(continua)
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