Recobrimentos Riemannianos

Como prometido, vou mostrar a seguinte proposição que fiquei devendo na última aula.

Proposição 1. Sejam $(M,g)$ e $(N,h)$ variedades Riemannianas conexas de mesma dimensão, $M$ completa. Seja $\pi:(M,g)\to (N,h)$ uma isometria local. Então $\pi$ é um recobrimento.

Prova. Note que como $\pi$ é isometria local então a imagem de uma $g$-geodésica é uma $h$-geodésica.

Lembre que para mostrar que uma variedade é completa, basta achar um polo. Assim, seja $p\in M$ qualquer e considere $q=\pi(p)$. Dado $v\in T_qN$, seja $w=(D\pi(p))^{-1}.v$. Então como $M$ é completa, a geodésica $\gamma_w$ é definida em toda a reta. Assim, pela observação anterior temos que $\pi(\gamma_w)=\gamma_v$ também é definida em toda a reta, ou seja $q$ é um polo. Assim $N$ é completa.

Seja $r\in N$ qualquer, então como $N$ é completa, temos uma geodésica minimizante $\alpha:[0,l]\to N$ que liga $q$ a $r$. Seja $v=(D\pi(p))^{-1}.\alpha'(0)$. Então a geodésica $\gamma_v$ em $M$ é projetada sobre $\alpha$ o que implica que $\pi(\gamma(l))=r$. Assim, $\pi$ é sobrejetiva.

Seja então $q\in N$ qualquer e tome $r\in(0,inj_N(q))$. Seja $p\in \pi^{-1}(q)$, como $\pi$ é isometria local, temos que $\pi:B(p,r)\to B(q,r)$ (o raio é mesmo devido ao fato de ser isometria) é representada por: $$\pi=\exp_q\circ D\pi(p)\circ exp_p^{-1}.$$

De fato, basta lembrar que $exp$ leva retas radiais em geodésicas.

Assim $\pi|_{B(p,r)}$ é bijeção suave, e como $\pi^*h=g$, temos que de fato é um difeomorfismo de $B(p,r)$ sobre $B(q,r)$. Em particular, se $\pi^{-1}(q)=\{p_{\lambda}\}$ então $$\bigcup_{\lambda}B(r,p_{\lambda})\subset \pi^{-1}(B(q,r)).$$

Agora seja $s\in \pi^{-1}(B(q,r))$. Assim $t=\pi(s)=exp_q(v)$, para algum $v$ com norma menor que $r$. Seja $$\alpha(t)=exp_q(1-t)v$$

geodésica que liga $t$ a $q$. Pelo mesmo argumento anterior, a geodésica radial $\gamma$ que parte de $s$ com direção $(D\pi(s))^{-1}(\alpha'(0)$ é projetada sobre $\alpha$ e portanto $\gamma(1)=p_{\lambda}$ para algum $\lambda$. Como o comprimento de $\gamma$ é menor que $r$ temos que $s\in B(p_{\lambda},r)$. Assim, $$\bigcup_{\lambda}B(r,p_{\lambda})= \pi^{-1}(B(q,r)).$$

Finalmente, se $x\in B(p_{\lambda_1},r)\cap B(p_{\lambda_2},r)$ então temos duas geodésicas $\gamma_1$ e $\gamma_2$ que ligam $x$ a $p_{\lambda_i}$, e estão contidas em $B(p_{\lambda_i},r)$ para $i=1,2$.

Mas então $\pi\circ\gamma_1$ e $\pi\circ\gamma_2$ são geodésicas em $B(q,r)$ que ligam $\pi(x)$ a $q$. Ambas com comprimento menor que $r$. Como $r$ é menor que $inj_N(q)$, temos que estas geodésicas são minimizantes e portanto tem que ser iguais. Assim, $\lambda_1=\lambda_2$. E isto termina a prova.

EMALCA 2011: Lista 2

1. Sean $x=(0,0,1,0,0,1,0,0,1,...)$, $y=(0,1,0,1,0,1,...)$ y $z=(1,0,1,0,1,0,...)$. Calcule (o por lo menos estime) las distâncias $d(x,y)$, $d(x,z)$ y $d(y,z)$.
2. Si consideramos el shift en el espacio $\{1,2,3,...,N\}^{\mathbb{N}}$, quanto puntos $x$ hay tales que $\sigma^n(x)=x$. Existe un punto $x$ tal que su órbita es densa?
3. Si $x\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ defina el conjunto estable de $x$: $W^s(x)$, como el conjunto de puntos $y$ tals que $d(\sigma^n(x),\sigma^n(y))\to 0$, quando $n\to \infty$. Diga como son los puntos $y$ en $W^s(x)$.
4. Sea el conjunto $\Omega(f)$ como los puntos $x\in [0,1]$ tal que para todo intervalo abierto $J$ tal que $x\in J$ existe un punto $y\in J$ y um entero $n>0$ tal que $f^n(y)\in J$. Mostrar que $\Omega(f)$ es cerrado. Y si $f$ y $g$ son conjugados por un homeomorfismo $h$ entonces $\Omega(g)=h(\Omega(f))$.
5. Un punto $x$ es recurriente si para todo intervalo abierto $J$ tal que $x\in J$, existe $n>0$ tal que $f^n(x)\in J$. Observe que todo punto recurriente está em $\Omega(f)$. Encontrar um ejemplo en que hay um punto de $\Omega(f)$ que no es recurriente.
6. Mostrar que el mapa $T(x)=2x$ si $x\in [0,\frac{1}{2}]$ y $T(x)=2x-1$ si $x\in [\frac{1}{2},1]$ tambien es conjugado al shift $\sigma:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to \{0,1\}^{\mathbb{N}}.$

EMALCA 2011: Lista 1

1. Los números racionales de la forma $\{\frac{p}{2^n}; p,n\in Z\}$ son densos en la recta.
2. Sea $B(x)$ una funcion dada por $B(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ si $x>0$ y $B(x)=0$ si $x\leq 0$. Entonces $B$ es $C^{\infty}$ y $B^{(n)}(0)=0$ para todo $n$. (sus derivadas)
3. Existe una funcion $C^{\infty}$ tal que $C(x)=0$ si $x\leq 0$, $C(x)=1$ si $x\geq 1$ y $C'(x)>0$ si $x\in(0,1)$.
4. Dados dos intervalos $[a,b]\subset [c,d]$. Existe una funcion $C^{\infty}$ tal que $D(x)=1$ si $a\leq x\leq b$, $D(x)=0$ si $x\notin (c,d)$ y $D'(x)\neq 0$ si $x\in (c,a)\cup (b,d)$.
5. Existe un difeomorfismo $f:[a,b]\to [c,d]$ tal que $f'(a)=f'(b)=1$ e $f(a)=c$ y $f(b)=d$.
6. Un homeomorfismo de la recta no tiene puntos periodicos de periodo maior que 2. (Pero $f(x)=-x$ tiene tales puntos)
7. Encuentre los puntos fijos, o de período 2, y diga quales son attractores o repulsores de los mapas: $x-x^2$, $x^3-x$, $\sin x$, $e^{x-1}$, $e^x$.
8. Si $f$ es un difeomorfismo entonces sus puntos hiperbolicos son aislados. (Y si no es un difeomorfimo, hay un ejemplo onde eso no ocurre?)
9. Existe un difeomorfismo com puntos fijos hiperbolicos $p_n$ y um punto fijo no-hiperbolico $p$ tal que $p_n\to p$?
10. Sea $T(x)=2x$ si $0\leq x\leq \frac{1}{2}$ y $T(x)=2-2x$ si $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$. Mostrar que $T$ tiene $2^n$ puntos de periodo $n$, y que sus puntos periodicos son densos en $[0,1]$. Lo mismo para el mapa $B(x)=2x$ si $0\leq x\leq \frac{1}{2}$ y $T(x)=2x-1$ si $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$.
11. Mostrar que la suma del tamanho de los intervalos que restam en la $n$-etapa de la construcion del conjunto de Cantor es $$1-\frac{1}{3}(\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{2}{3})^i).$$