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Recobrimentos Riemannianos

Como prometido, vou mostrar a seguinte proposição que fiquei devendo na última aula.

Proposição 1. Sejam $(M,g)$ e $(N,h)$ variedades Riemannianas conexas de mesma dimensão, $M$ completa. Seja $\pi:(M,g)\to (N,h)$ uma isometria local. Então $\pi$ é um recobrimento.

Prova. Note que como $\pi$ é isometria local então a imagem de uma $g$-geodésica é uma $h$-geodésica.

Lembre que para mostrar que uma variedade é completa, basta achar um polo. Assim, seja $p\in M$ qualquer e considere $q=\pi(p)$. Dado $v\in T_qN$, seja $w=(D\pi(p))^{-1}.v$. Então como $M$ é completa, a geodésica $\gamma_w$ é definida em toda a reta. Assim, pela observação anterior temos que $\pi(\gamma_w)=\gamma_v$ também é definida em toda a reta, ou seja $q$ é um polo. Assim $N$ é completa.

Seja $r\in N$ qualquer, então como $N$ é completa, temos uma geodésica minimizante $\alpha:[0,l]\to N$ que liga $q$ a $r$. Seja $v=(D\pi(p))^{-1}.\alpha'(0)$. Então a geodésica $\gamma_v$ em $M$ é projetada sobre $\alpha$ o que implica que $\pi(\gamma(l))=r$. Assim, $\pi$ é sobrejetiva.

Seja então $q\in N$ qualquer e tome $r\in(0,inj_N(q))$. Seja $p\in \pi^{-1}(q)$, como $\pi$ é isometria local, temos que $\pi:B(p,r)\to B(q,r)$ (o raio é mesmo devido ao fato de ser isometria) é representada por: $$\pi=\exp_q\circ D\pi(p)\circ exp_p^{-1}.$$

De fato, basta lembrar que $exp$ leva retas radiais em geodésicas.

Assim $\pi|_{B(p,r)}$ é bijeção suave, e como $\pi^*h=g$, temos que de fato é um difeomorfismo de $B(p,r)$ sobre $B(q,r)$. Em particular, se $\pi^{-1}(q)=\{p_{\lambda}\}$ então $$\bigcup_{\lambda}B(r,p_{\lambda})\subset \pi^{-1}(B(q,r)).$$

Agora seja $s\in \pi^{-1}(B(q,r))$. Assim $t=\pi(s)=exp_q(v)$, para algum $v$ com norma menor que $r$. Seja $$\alpha(t)=exp_q(1-t)v$$

geodésica que liga $t$ a $q$. Pelo mesmo argumento anterior, a geodésica radial $\gamma$ que parte de $s$ com direção $(D\pi(s))^{-1}(\alpha'(0)$ é projetada sobre $\alpha$ e portanto $\gamma(1)=p_{\lambda}$ para algum $\lambda$. Como o comprimento de $\gamma$ é menor que $r$ temos que $s\in B(p_{\lambda},r)$. Assim, $$\bigcup_{\lambda}B(r,p_{\lambda})= \pi^{-1}(B(q,r)).$$

Finalmente, se $x\in B(p_{\lambda_1},r)\cap B(p_{\lambda_2},r)$ então temos duas geodésicas $\gamma_1$ e $\gamma_2$ que ligam $x$ a $p_{\lambda_i}$, e estão contidas em $B(p_{\lambda_i},r)$ para $i=1,2$.

Mas então $\pi\circ\gamma_1$ e $\pi\circ\gamma_2$ são geodésicas em $B(q,r)$ que ligam $\pi(x)$ a $q$. Ambas com comprimento menor que $r$. Como $r$ é menor que $inj_N(q)$, temos que estas geodésicas são minimizantes e portanto tem que ser iguais. Assim, $\lambda_1=\lambda_2$. E isto termina a prova.

EMALCA 2011: Lista 2

1. Sean $x=(0,0,1,0,0,1,0,0,1,...)$, $y=(0,1,0,1,0,1,...)$ y $z=(1,0,1,0,1,0,...)$. Calcule (o por lo menos estime) las distâncias $d(x,y)$, $d(x,z)$ y $d(y,z)$.
2. Si consideramos el shift en el espacio $\{1,2,3,...,N\}^{\mathbb{N}}$, quanto puntos $x$ hay tales que $\sigma^n(x)=x$. Existe un punto $x$ tal que su órbita es densa?
3. Si $x\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ defina el conjunto estable de $x$: $W^s(x)$, como el conjunto de puntos $y$ tals que $d(\sigma^n(x),\sigma^n(y))\to 0$, quando $n\to \infty$. Diga como son los puntos $y$ en $W^s(x)$.
4. Sea el conjunto $\Omega(f)$ como los puntos $x\in [0,1]$ tal que para todo intervalo abierto $J$ tal que $x\in J$ existe un punto $y\in J$ y um entero $n>0$ tal que $f^n(y)\in J$. Mostrar que $\Omega(f)$ es cerrado. Y si $f$ y $g$ son conjugados por un homeomorfismo $h$ entonces $\Omega(g)=h(\Omega(f))$.
5. Un punto $x$ es recurriente si para todo intervalo abierto $J$ tal que $x\in J$, existe $n>0$ tal que $f^n(x)\in J$. Observe que todo punto recurriente está em $\Omega(f)$. Encontrar um ejemplo en que hay um punto de $\Omega(f)$ que no es recurriente.
6. Mostrar que el mapa $T(x)=2x$ si $x\in [0,\frac{1}{2}]$ y $T(x)=2x-1$ si $x\in [\frac{1}{2},1]$ tambien es conjugado al shift $\sigma:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to \{0,1\}^{\mathbb{N}}.$

EMALCA 2011: Lista 1

1. Los números racionales de la forma $\{\frac{p}{2^n}; p,n\in Z\}$ son densos en la recta.
2. Sea $B(x)$ una funcion dada por $B(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ si $x>0$ y $B(x)=0$ si $x\leq 0$. Entonces $B$ es $C^{\infty}$ y $B^{(n)}(0)=0$ para todo $n$. (sus derivadas)
3. Existe una funcion $C^{\infty}$ tal que $C(x)=0$ si $x\leq 0$, $C(x)=1$ si $x\geq 1$ y $C'(x)>0$ si $x\in(0,1)$.
4. Dados dos intervalos $[a,b]\subset [c,d]$. Existe una funcion $C^{\infty}$ tal que $D(x)=1$ si $a\leq x\leq b$, $D(x)=0$ si $x\notin (c,d)$ y $D'(x)\neq 0$ si $x\in (c,a)\cup (b,d)$.
5. Existe un difeomorfismo $f:[a,b]\to [c,d]$ tal que $f'(a)=f'(b)=1$ e $f(a)=c$ y $f(b)=d$.
6. Un homeomorfismo de la recta no tiene puntos periodicos de periodo maior que 2. (Pero $f(x)=-x$ tiene tales puntos)
7. Encuentre los puntos fijos, o de período 2, y diga quales son attractores o repulsores de los mapas: $x-x^2$, $x^3-x$, $\sin x$, $e^{x-1}$, $e^x$.
8. Si $f$ es un difeomorfismo entonces sus puntos hiperbolicos son aislados. (Y si no es un difeomorfimo, hay un ejemplo onde eso no ocurre?)
9. Existe un difeomorfismo com puntos fijos hiperbolicos $p_n$ y um punto fijo no-hiperbolico $p$ tal que $p_n\to p$?
10. Sea $T(x)=2x$ si $0\leq x\leq \frac{1}{2}$ y $T(x)=2-2x$ si $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$. Mostrar que $T$ tiene $2^n$ puntos de periodo $n$, y que sus puntos periodicos son densos en $[0,1]$. Lo mismo para el mapa $B(x)=2x$ si $0\leq x\leq \frac{1}{2}$ y $T(x)=2x-1$ si $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$.
11. Mostrar que la suma del tamanho de los intervalos que restam en la $n$-etapa de la construcion del conjunto de Cantor es $$1-\frac{1}{3}(\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{2}{3})^i).$$

Centralizadores de difeos Parcialmente Hiperbólicos I

Opa, neste post vamos dar uma olhada no paper de Burslem, sobre o tema que está no título :D.

O centralizador $C(f)$ de um difeo $f$ é formado pelos difeos $g$ que comutam com $f$, isto é $f\circ g=g\circ f$.

Por exemplo, se $f$ é o tempo-1 de um fluxo então pelo menos o fluxo inteiro está contido no centralizador. Note que $C(f)$ é um grupo, com a composição. Note também que qualquer potência de $f$ vive no centralizador, se ele for composto apenas por estes então o centralizador é dito trivial. Observe também quem a trivialidade do centralizador implica que o difeo não pode ser mergulhado num fluxo!

A pergunta natural é descrever os centralizador para a maioria dos difeomorfismos, ou em classes de tais.

Teorema A. Seja $X$ um campo Anosov incompressível. Para qualquer $X_t$ existe uma $C^{\infty}$-vizinhança $U=viz(X_t)$ onde $C^{\infty}$-genericamente em $U$, o centralizador é trivial.

Legal não é? Note que obviamente $U$ não contêm nenhum elemento do fluxo, porém da pra desenrolar isso.

Proposição 1. Um campo $X$ $C^r$-generico sobre os campos Anosov incompressíveis, possui um residual $T\subset \mathbb{R}$ tal que para todo $t\in T$ o centralizador de $X_t$ é formado apenas pelo fluxo gerado por $X$.

De fato, o teorema técnico que mostrar estes resultados é o seguinte.

Teorema B. Seja $W$ um $C^{\infty}$-aberto formado por difeos parcialmente hiperbólicos, tais que

• A direção central é unidimensional éintegrável (não de maneira única em princípio!)
• Existe $p$ tal que a folha central é fechada e invariante, mais ainda $F^{cu}(p)$ e $F^{cs}(p)$ são densas. Também, $F^{cs}(p)=\bigcup_{q\in F^c(p)}F^s(q)$

Então $C^{\infty}$-genericamente em $W$ o centralizador é trivial.

Os outros resultados seguem encaixando-os nas hipóteses deste teorema. Mais ainda, pode se provar o seguinte resultado:

Teorema C. Existe um $C^1$-aberto $C^r$-denso de difeos parcialmente hiperbólicos onde o centralizador é discreto.

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Propriedades genéricas em $W$.

Note que $F^{cs}(p)\cap F^{cu}(p)$ é densa em $F^{cs}(p)$ (de fato isto vale para qualquer difeo em $W$). Pois fixado $q\in F^{cs}(p)$, por densidade a folha $F^{cu}(p)$ passa em uma vizinhança pequena de $q$, e por transversalidade do splitting, ela tem que cortar $F^{cs}(p)$.

Note também que por compacidade da folha central, $F^{c}(p)$ tem pontos periódicos e por Kupka-Smale, todos são hiperbólicos, sejam $p_1,\dots p_{2N}$ tais pontos. Como é Morse-Smale na central, vamos supor que $p_i$ com $i$ ímpar são fontes ($P_u$) e par são poços ($P_s$) (na central). Temos imediatamente que

$$F^{cs}(p)=\bigcup W^s{p_i}$$

e que $\bigcup_{p_i\in P_s} W^s{p_i}$ é aberto e denso em $F^{cs}(p)$.

Se $n$ é o menor período dos $p_i$'s, temos que os autovalores de $Df^n(p_i)$ são não ressonantes, logo poderemos linearizar suavemente via o teorema de Sternberg.

Lema 1: $C^1$-abertamente e $C^{\infty}$-denso todo difeo $g\in C(f)$ preserva os $p_i$'s, isto é $g(p_j)=f^k(p_j)$.

Note também que, como vimos antes, por transversalidade $F^{cs}(p)\cap F^u(p)\neq \emptyset$. Mas, como $\bigcup_{p_i\in P_s}W^{s}(p_i)$ é aberta e densa em $F^{cs}(p)$, perturbando um pouco temos que para algum $p_i$ vale

$$W^s(p_i)\cap F^u(p)\neq \emptyset.$$

E isto é genérico.

A propriedade genérica difícil de obter é a seguinte:

Lema 2: Seja $p_i$ tal que $W^s(p_i)\cap F^u(p)\neq \emptyset$ então se $g\in C(f)$ existe $m$ tal que $g|_{W^s(p_i)}=f^m$.

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Prova do teorema B:

Tome $f$ com as propriedades acima, e $g\in C(f)$. Vimos que $F^{cs}(p)$ se decompõe nos conjuntos estáveis dos $p_i$'s e que $g(p_j)=f^k(p_j)=p_l$ para algum $l$, assim

$$g(W^s(p_j))=W^s(f^k(p_j))=W^s(p_l)$$

Então $g$ preserva $F^{cs}(p)$ e da mesma forma preserva $F^{cu}(p)$. Logo a interseção é invariante por $g$ que é uma folha central.

Cor: Se $q\in F^{cs}(p)$ então $g(F^c(q))=F^c(g(q))$.

Seja $h=gf^{-m}$, pelo lema 2 temos que $h|_{W^s(p_i)}=id$, como $n$ é o período mínimo dos $p_i$'s, temos que $f^n(p_i)=p_i$ e $h(p_i)=p_i$ (pois $g(p_i)=f^m(p_i)$).

Podemos orientar o círculo $F^c(p)$, assim supondo que o tal $p_i$ (da af. da interseção) é $p_2$, temos que $h_{[p_1,p_3]}=id$ (pois a bacia do $p_2$ vai até o $p_1$ o $p_3$).

Af. $h_{[p_3,p_4]}=id$.

Prova. Pela condição de não-ressonância, podemos linearizar suavemente perto de $p_3$. Digamos, existe $\alpha$ a conjugação e $A$ linear tal que

$$\alpha f^n \alpha^{-1}=A$$

A conjugação é local, mas saturando o domínio fundamental, estendemos $\alpha$ para todo $W^u(p_3)$. Ou seja, $\alpha=f^{nM}\alpha f^{-nM}$ com $M$ varrendo os naturais.

Temos também, por dominação, que a folha central $F^c(p)$ é $C^1$ e portanto $$\gamma=\alpha((p_2,p_4))=\gamma_1*\gamma_2=\alpha((p_2,p_3])*\alpha([p_3,p_4))$$ também é $C^1$.

Seja $B=\alpha h \alpha^{-1}$. Por definição de $h$ e como $\alpha$ é conjugação temos que $h$ comuta com $A$. No caso linear temos uma rigidez:

Teorema. (Nancy Koppel) $B$ é linear.

O teorema acima usa a condição de não-ressonância.

Como sabíamos que $B|_{\gamma_1}=id$, por linearidade temos que ter $B_{\gamma_2}=id$.

Vamos supor que o eixo-x corresponde a direção central. Como $A$ e $B$ comutam, suas matrizes tem a mesma estrutura de blocos. Mais ainda, a curva $\gamma$ é um gráfico sobre o eixo-x, tangenciando $0$. Denote $\pi$ a projeção, como $B$ é linear temos que $B|_{\pi(\gamma_1)}=id$ também. Novamente por linearidade $B=id$ no eixo-x.

Logo o autovalor associado a 1a. coordenada de $B$ é $1$. Agora $\gamma$ é um gráfico invariante por $B$ assim $B=id$ em $\gamma_2$. Logo $h=id$ em $[p_3,p_4]$. E isto prova a afirmação.

Por indução, temos que $h=id$ na folha central inteira $F^c(p)$.

Af. $h=id$ em $F^{cs}(p)$.

Com a afirmação o teorema fica provado pois como a folha é densa temos que $h=id$ em $M$.

Prova da Afirmação. Como $h=id$ tanto em $W^s(p_2)$ como em $F^c(p)$ temos que para todo $y$ na folha central de $p$, $h(F^s(y))=F^s(y)$ (pois $W^s(p_2)$ é "grande" na folha centro estável). Da mesma forma para todo $x\in W^s(p_2)$ temos que $h(F^c(x))=F^c(x)$.

(continua)

Hiperbolicidade Parcial Longe de Tangências I

Nestes posts vamos tentar entender o paper de Crovisier, Sambarino e Yang.

Um teorema principal do paper é o seguinte

Teorema. Seja $f$ um difeo genérico e $\Lambda$ um compacto invariante chain-transitivo, que tem uma decomposição dominada $E^s\oplus E^c\oplus F$, onde $E^s$ contrai, $E^c$ é unidimensional não contrator. Vamos supor que existe uma medida ergódica $\mu$ em $\Lambda$ cujo expoente na direçao $E^c$ é não-nulo. Então para toda vizinhança de $\Lambda$, existe uma classe homoclínica local de um ponto $p$ que contêm $\Lambda$ onde

• Ou o índice de $p$ é $dim E^s$
• Ou para todo $\theta>0$ podemos supor que o expoente de $p$ na direção $E^s$ está entre $(-\theta,\theta)$ .

Ou seja, sempre conseguimos por o conjunto numa classe homoclínica local, cujo índice é dada pela contração a priori em $\Lambda$ ou aparece um autovalor fraco. Note que não pedimos por enquanto que o difeo esteja longe de tangencias.

No que segue vamos tentar dar uma idéia da prova. Fixe a vizinhança $U$ e a constante $\theta$.

Devido a decomposição dominada, temos uma família de placas centrais localmente invariante, vamos chamá-la de $D^c$. Ela não é única, então vamos fixar uma.

Por hipótese temos umas medida $\mu$ com expoente central não nulo. Separamos a prova em dois casos.

Caso 1) Se o expoente é positivo então por dominação, os expoentes na direção $F$ são positivos, e lembre que $E^s$ é contrator. Logo $\mu$ é uma medida hiperbólica, cuja decomposição de Oseledets é $E^s$ (expoente negativo) e $E^c\oplus F$ (exponete positivo).

Use então a famosa proposição 1.4, que diz que uma vez que o splitting de Oseledets é dominado então $\mu$ é suportada numa classe homoclinica. De fato, existe uma sequência $O_n$ de órbitas periódicas com índice $dim E^s$, relacionadas em $U$, que convergem Hausdorff para o suporte de $\mu$.

Assim, se obtem a primeira opção da tese do teorema.

Caso 2) O expoente de toda medida é não-negativo.

Neste caso, basta provar que temos medidas com expoente próximo de zero.

Prova: Seja uma medida com expoente entre $-\epsilon$ (bem pequeno) e $0$. Por dominação os expoentes em $F$ são positivos. Novamente a medida é hiperbólica, cuja decomposição de Oseledets agora é $E^s\oplus E^c$ (expoentes negativos) e $F$ (expoentes positivos), que é dominada. Logo, aplicamos a prop 1.4 de novo, e obtemos uma classe homoclínica mas agora com órbitas com índice $dim (E^s)+1$. Mas como o expoente na central é próximo de zero, temos que os expoentes das órbitas periódicas geradas também são próximos de zero e obtemos a segunda opção do teorema.

Agora vamos dar um jeito de mostrar que medidas fracas aparecem. Por absurdo então vamos supor que nenhuma medida tem expoente entre $-\epsilon$ e $0$ (mas existe uma cujo expoente $L^c(\mu)\leq -\epsilon$).

Iremos usar um teorema pesado devido a Crovisier:

Teorema: Seja $f$ um difeo longe de tangencias e $K_0$ um compacto invariante com decomposição dominada $E\oplus F$. Se $E$ não contrai então:

1. Ou $K_0$ intersecta uma classe local $H(O,U)$ onde $O$ tem índice menor que $dim E$,
2. Ou $K_0$ intersecta classes locais $H(O_n,U)$ onde $O_n$ tem índice $dim E$ mas possui órbitas $P_n$, relacionadas em $U$, que são fracas, ou seja, elas tem índice $dim E$ e expoente central (maximal) em $(-\delta,0)$ para qualquer $\delta$ pequeno, e elas convergem para $K\subset K_0$.
3. Ou existe um compacto $K\subset K_0$ parcialmente hiperbólico do tipo $E^s\oplus E^c\oplus E^u$ onde $dim E^s

OBS: Aqui tem um pequeno detalhe de como ele pode supor que está longe de tangências? (em princípio o teorema que queremos provar é enunciado para um difeo genérico apenas....)

Note que essencialmente não temos o ítem 3, mas os ítens 1 e 2, são o que queremos, se usarmos a decomposição $(E^s\oplus E^c)\oplus F$ (lembre que $E^s$ contrai!). Podemos formalizar assim:

Definição: Um $0$-CLE é um compacto invariante chain-transitivo em $\Lambda$ tal que toda medida ergódica suportada nele tem expoente nulo.

Então o teorema anterior, nas nossas hipóteses implica:

Se não existem $0$-CLEs então a conclusão do teorema principal é verdadeira.

Reduzimos de novo a prova do teorema. Precisamos de uma maneira de localizar um $0$-CLE. Uma idéia é considerar o "complementar" dele.

Definição: Um ponto é $\epsilon$-central hiperbólico se, tomando $\lambda$ a constante de dominação, i.e. se $v\in E^s\oplus E^c$ e $w\in F$ então $\|Df.v\|\leq \lambda \|Df.w\|$ e $\epsilon$ pequeno tal que

$$e^{-\epsilon}\geq\lambda^{1/2}.$$

Então para todo $n\geq 0$ temos $$\|Df^n|_{E^c_x}\|\leq e^{-nc}$$

Se $X$ é o conjunto formado por tais pontos, temos que $X$ é compacto e mais ainda é não vazio! De fato, temos uma medida ergódica com expoente menor que $-\epsilon$, tome a função $\phi=-\log \|Df_{E^c}\|$ (que gera o expoente central) então por Birkhoff, a média temporal de $\phi$ é menor que $-\epsilon$, para qualquer ponto genérico.

E isto implica a existência de um ponto hiperbólico na órbita futura deste ponto, simplesmente pois o limsup da média temporal será menor que $-\epsilon$, logo para $n_0$ grande $f^{n_0}(x)$ irá contrair bem no futuro. Logo $X$ intersecta o suporte da medida.

Corolário: Todo compacto invariante chain-transitivo disjunto de $X$ é um $0$-CLE.

Isto diz que a dinâmica central dentro de tais conjuntos tem que ser relativamente controlada, para estudar isso do ponto de vista topológico usamos os modelos centrais de Crovisier.

Modelos Centrais:

Lembre que a seção nula de $E^c$ sobre $K$ é $Df$-invariante (pois a derivada é injetiva). Assim, vamos tentar descrever a dinâmica de $Df$ em uma vizinhança desta. Temos dois casos, ao considerar o fibrado unitário de $E^c$ (que em cada ponto só tem dois vetores!), um quando $Df$ mistura todos os vetores, ou quando ele preserva sinal.

No primeiro caso vamos denotar $H=K$ no primeiro caso, ou $H$ como sendo duas cópias de $K$ no segundo (essencialmente podemos estudar separadamente os vetores "positivos" e os vetores "negativos").

Essencialmente cada ponto de $H$ irá denotar uma meia placa central, depois temos que parametrizá-la. Fazemos isso via uma projeção

$$\pi:H\times [0,\infty) \to M$$

tal que $\pi(\{x\}\times[0,\infty))\subset D^c_x$, e $\pi(x,0)=x$. (Tem um abuso de notação aqui, $x$ denota tanto o ponto base na variedade como o ponto correspondente em $H$, na seção nula).

A invariância local das placas, mostra que $f$ agindo nas placas, pode ser levantado para uma vizinhança de $H\times{0}$ em $H\times [0,\infty)$ via $\pi$, obtendo assim um mapa $F$ que é dito o modelo central associado a $(K,f)$.

OBS: Note que ele não é único, pois depende da família de placas.

Dado $Z\subset K$ definimos o conjunto chain-instável de $Z$ como os pontos $(y,t)$, com $y\in Z$ tal que para todo $\epsilon>0$ existe uma pseudo-órbita $(x_k,t_k)$ de $F$ ligando algum $(x,0)$ a $(y,t)$, onde $x_k\in Z$. Análogo para o conjunto chain-stable.

Lembre que queremos estudar os $0$-CLEs. Novamente separa-se a prova em dois casos.

Caso 1) Seja $K$ um 0-CLE tal que existe um ponto $y\in \Lambda$ cujo $\alpha$-limite mora em $K$ e o conjunto chain-instável de $H\cup Orb^-(y)$ contêm um segmento não trivial $\{y\}\times [0,a]$ (para algum modelo central).

Neste caso uma proposição dura do paper diz que

Proposição 1: Para todo $\theta>0$ e $U=viz(\Lambda)$ existe $\eta>0$ tal que no model central dado por $W^c_{\eta}$, existe $x\in \Lambda$ com um segmento central recorrente por cadeias. Mais ainda, para todo $z$ no interior de tal segmento e toda $V=viz(z)$ existe um ponto periódico $p\in V$ cuja órbita vive em $U$ e tem expoente entre $-\theta$ e $\theta$.

Lembrando que por definição um intervalo central é recorrente por cadeias se está contido no conjunto chain-estável e chain-instável de $H\times\{0\}$.

Vamos analisar a consequência da existência de tal segmento.

Lema. Seja $I$ segmento central contido no conjunto chain-estável de $\Lambda$ (que é a mesma coisa que o $H$), tal que $f^k(I)\subset W^c_{\eta}(f^k(x))$ para todo $k\geq 0$ e para algum $x\in \Lambda$. Lembre que temos $p_n$ pontos periódicos em $U$ com expoente pequeno convergindo para $z\in I$ (dada pela proposição). Então se $n$ é grande e $W\subset U$ temos que

$$W^u_{\eta}(O(p_n))\subset W^{ch-s}(\Lambda,W)\neq \emptyset$$.

Aqui $W^{ch-s}(\Lambda, W)$ denota o conjunto chain-estável, olhando o modelo central modelando apenas a vizinhança $W$.

Vamos assumir o lema por enquanto, então como podemos aplicar o lema para $f^{-1}$, pois o intervalo é recorrente por cadeias (i.e. use o conjunto chain-instável agora), temos que os pontos $p_n$ com expoente pequeno ambos vivem no conjunto chain-estável e chain-instável de $\Lambda$ restrito a vizinhança $W$.

Um argumento, mostrará então que esses pontos são homoclinicamente relacionados em $W$, e isto gerará a classe homoclínica local, o que implicará na segunda opção do teorema principal. Falta então mostrar o lema, e ver o caso 2.

Prova do Lema. Lembre que temos um splitting dominado $E\oplus E^c\oplus F$. Dado $\epsilon>0$ existe $\eta>0$ tal que por continuidade uniforme da derivada, pontos numa curva central de tamanho $\eta$ tem derivadas $e^{\epsilon}$ próximas. Assim, pelo teorema do valor médio, e usando o fato das imagens das curvas estarem na variedade central ainda, temos que para todo $z\in I$:

$$\|Df^k|_{E^c}(z)\|\leq \frac{l(f^k(I))}{l(I)}e^{\epsilon k}$$

Por dominação entre $E$ e $E^c$ isso implica que $z$ é um ponto $(C,\sigma,E)$-hiperbólico.

Agora por dominação entre $E$ e $F$ temos que ou os pontos $p_n$ (que estão acumulando em $z$) são $F$-hiperbólicos, ou existem $q_n$ na órbita de $p_n$ (seria passada, mas como são periódicos não importa) que são $F$-hiperbólicos convergindo para um ponto $w$ que é $E$-hiperbólico.

No primeiro caso, como as variedades $F$ são grandes, para $n$ grande temos interseção entre $W^u_{loc}(p_n)$ (gerada por $F$) e $W^s_{local}(z_n)$ com $z_n\in I$, próximo de $z$. Acabou pois lembre que $I$ vive no conjunto chain-estável.

No segundo caso, $W^s_{loc}(w)$ intersecta $W^u_{loc}(q_n)$. Tem que argumentar, usando o fato que $p_n\to z$, que $w$ está no chain-estável de $\Lambda$, assim teremos que $q_n$ está no chain-estável, bem como $p_n$ e isto termina a prova do lema no segundo caso.

Caso 2. Vamos supor então que a conclusão da proposição 1 não é válida.

(Continua...)

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